Cho tứ diện ABCD có ABC^=ADC^=BCD^=90o ,BC=2a,CD=a, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 60o . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD).

Do BC⊥ABBC⊥AH,(do  AH⊥BCD 

⇒BC⊥ABH⇒BC⊥BH1 

Tương tự CD⊥ADCD⊥AH,do  AH⊥BCD 

Ta có BCD^=90o3 

Từ (1), (2), (3) nên tứ giác là hình chữ  nhật HBCD có BC=HD=2a;HB=DC=a và AB,BCD^=AB,BH^=ABH^=60o.

Gọi E là đỉnh của hình bình hành BDCE. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng dAC;BD=dBD,AEC=dB,AEC=12dH,AEC Gọi HN là đường cao tam giác HEC, HK là đường cao tam giác AHN.

Ta có CE⊥HNCE⊥AH, (do AH⊥BCD) 

⇒CE⊥AHN⇒CE⊥HK và AN⊥HK nên HK⊥AEC 

Vậy dAC,BD=12dH,ACE=12HK 

Trong ΔHEC có  HE.BC=EC.HN⇒HN=HE.BCEC=4a5.

Trong ΔAHNcó  1HK2=1HA2+1HN2=13a2+516a2=3148a2⇒HK=43a31

Vậy dAC,BD=12HK=23a31. 

Chọn C