Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương liên tục trên [0;1], thỏa mãn ∫01x.f'xfxdx≥1 và f0=1;f1=e2 . Tính giá trị của f12 .

Đáp án C.

Hàm dưới dấu tích phân là x.f'xfx=x.f'xfx,∀x∈0;1

Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f'xfx , muốn vậy ta phải đánh giá theo AM−GM  như sau: f'xfx+mx≥2m.x.f'xfx  với m≥0  và x∈0;1

Do đó ta cần tìm tham số m≥0  sao cho ∫01f'xfx+mxdx≥2m.∫01x.f'xfxdx

Hay lnfx10+mx2210≥2m.1⇔lnf1−lnf0+m2≥2m⇔2−0+m2≥2m

Để dấu “=” xảy ra thì ta cần có 2−0+m2=2m⇔m=4

Với m=4 thì đẳng thức xảy ra nên f'xfx=4x

⇒∫f'xfxdx=∫4xdx⇔lnfx=2x2+C⇒fx=e2x2+C

Theo giả thiết f0=1f1=e2⇒C=0⇒fx=e2x2⇒f12=e