Trong không gian \[Oxyz,\] cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] biết \[A\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,1\,;\,\,2} \right),\]\(D\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right),\)\(A'\left( {3\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right),\) điểm \[M\] thuộc cạnh \[DC.\] Giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách \(AM + MC\) là

Ta có \(AB = \sqrt 3 \,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,AD = \sqrt 6 \,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,{\mkern 1mu} AA' = 2\sqrt 2 .\)

Gọi độ dài đoạn \(DM = x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 \le x \le \sqrt 3 } \right)\).

Khi đó, \(AM + MC' = \sqrt {6 + {x^2}}  + \sqrt {8 + {{\left( {\sqrt 3  - x} \right)}^2}} \)

\( \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 6  + \sqrt 8 } \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3  - x} \right)}^2}}  = \sqrt {6 + 8\sqrt 3  + 8 + 3}  = \sqrt {17 + 8\sqrt 3 } \)

Do đó \(\min \left( {AM + MC'} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \sqrt {17 + 8\sqrt 3 } \) khi và chỉ khi:

\(\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 8 }} = \frac{x}{{\sqrt 3  - x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 2x = 3 - \sqrt 3 x \Leftrightarrow x = \frac{3} = 6 - 3\sqrt 3 \). Chọn C.