Cho hai hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)có đồ thị như hình vẽ, trong đó đường đậm hơnlà đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là \( - 3\) và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(3\). Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 12;12} \right]\) để bất phương trình \(f(x) \ge g(x) + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in {\rm{[}} - 3;3]\)?

* Gọi \(f\left( x \right)\) có dạng : \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = a.{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Ta có : \(f\left( 0 \right) - g\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow - 27a = 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}\)

Hay \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \frac{1}{\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

* Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\)

\(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = - \frac{4}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)\)

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - \sqrt 3 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Bảng xét dấu \(h\left( x \right)\)

* Bất phương trình: \(f(x) \ge g(x) + m \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - g\left( x \right)\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 3;3} \right]\)

\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} h\left( x \right) \le \frac{9}\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\frac{9}} \right]\)

Chọn đáp án D