Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P:3x+y−z+5=0 và hai điểm A1;0;2, B2;−1;4 . Tập hợp các điểm Mx;y;z nằm trên mặt phẳng P sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất là đường thẳng có phương trình

Đáp án C

Ta có AB→=1;−1;2 , vectơ pháp tuyến của P là nP→=3;1;−1 .

Ta thấy hai điểm A,B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng P và AB song song với P .

Điểm M∈P  sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

 ⇔SΔABC=AB.dM;AB2 nhỏ nhất

 ⇔dM;AB nhỏ nhất, hayM∈Δ=P∩Q , Q  là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với P .

 ⇒Δ//AB hay Δ nhận AB→=1;−1;2 là một vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ pháp tuyến của Q là nQ→=AB→;nP→=−1;7;4

Þ Phương trình mặt phẳng Q:−1x−1+7y+4z−2=0⇔x−7y−4z+7=0

Þ Tập hợp các điểm Mx;y;z thỏa mãn hệ phương trình x−7y−4z+7=03x+y−z+5=0.

Chọn x=−1⇒y=−211;z=2011

⇒Δ:x=−1+ty=−211−tz=2011+2t t∈ℝ.