Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và log3x+1y+1y+1=9−x−1y+1. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x3+y3−57x+y là một số thực có dạng a=b7a,b∈ℝ. Tính giá trị của a + b.

Chọn C.

Ta có log3x+1y+1y+1=9−x−1y+1⇔y+1log3x+1y+1=9−x−1y+1

⇔log3x+1y+1=9y+1−x−1⇔log3x+1+log3y+1=9y+1−x+1.

⇔log3x+1+x−1=−log3y+1+9y+1⇔log3x+1+x+1=log39y+1+9y+1 1.

Xét hàm số y=ft=log3t+t có f't=1tln3+1>0,∀t∈0;+∞, nên hàm số f(t) đồng biến trên 0;+∞.

Từ (1) ta có fx+1=f9y+1⇔x+1=9y+1⇔x+1y+1=9⇔xy+x+y=8.

Khi đó P=x3+y3−57x+y=x+y3−3xyx+y−57x+y

=x+y3−38−x−yx+y−57x+y

Đặt t=x+y,t>2⇒gt=t3−38−tt−57t=t3+3t2−81t với t > 2

Ta có g't=3t2+6t−81=0⇔t=−1+27nt=−1−27l.

Ta có bảng biến thiên của hàm g(t) trên 2;+∞.

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy Pmin=g−1+27=83−1127.

Suy ra a=83b=−112⇒a+b=−29.