Có bao nhiêu cặp số nguyên \(a,\,\,b\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({a^2} + {b^2} >1\) và \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)?

Lời giải

Ta có \({a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{{b^2}\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right) + 4{a^2}}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 3 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {\frac{{\left( {{b^2} + 4} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2} + 2{b^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4 \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {{b^2} + 4} \right) - {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right) + \left( {{a^2} + 2{b^2}} \right) \le {\log _{{a^2} + {b^2}}}\left( {{b^2} + 4} \right) + \left( {{b^2} + 4} \right)\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{{a^2} + {b^2}}}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln \left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} + 1 >0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\[\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {{a^2} + 2{b^2}} \right) \le f\left( {{b^2} + 4} \right) \Leftrightarrow {a^2} + 2{b^2} \le {b^2} + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \le 4\]

Vậy, \(a,\,\,b\) thỏa mãn \[1 < {a^2} + {b^2} \le 4\]. Từ đó ta có 8 cặp số \(\left( {a\,;\,\,b} \right)\) thỏa mãn bài toán là \(\left( { - 2; - 2} \right),\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1; - 2} \right),\left( { - 1; - 1} \right),\left( {1\,;\,1} \right),\left( {1\,;\,2} \right),\left( {2\,;\,1} \right),\left( {2\,;\,2} \right)\).