Cho các số thực x,y,z thỏa mãn log32x2+y2=log7x3+2y3=logz. Có bao giá trị nguyên của z để có đúng hai cặp x,y thỏa mãn đẳng thức trên.

Chọn B

Ta có log32x2+y2=log7x3+2y3=logz=t⇔2x2+y2=3t       1x3+2y3=7t       2z=10t                                  3.

+ Nếu y = 0 2⇒x=7t3 thay vào (1) ta được 2.72t3=3t⇔t=log34932 do đó z=10log34932.

+ Nếu y≠0

Từ 1&2suy ra 2x2+y23=27tx3+2y32=49t⇒x3+2y322x2+y23=4927t⇔xy3+222xy2+123=4927t,*.

Đặt xy=u,u≠−23. Xét fu=u3+222u2+13⇒f'u=6uu3+2u−42u2+14=0⇔u=0u=−23u=4.

Ta có bảng biến thiên

Nhận xét với mỗi giá trị u tương ứng với duy nhất 1 cặp (x,y) thỏa mãn bài toán do đó

Yêu cầu bài toán tương đương 18≤4927t<40<4927t<433⇔10log492718≤z<10log492740

Vì z là số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn.