Cho hàm số \[f\left( x \right) = \ln \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]. Biết rằng \[f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \ln a - \ln b + \ln c - \ln d\] với a, b, c, d là các số nguyên dương, trong đó a, c, d là các số nguyên tố và \[a < b < c < d\]. Tính \[P = a + b + c + d\].

Phương pháp giải:

Phân tích, sử dụng các công thức \[{\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _a}\left( {\frac{b}{c}} \right) = {\log _a}b - {\log _a}c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < a \ne 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b;c > 0} \right)\]

Giải chi tiết:

 Xét hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\left[ {2;2018} \right]\] ta có:

\[f\left( x \right) = \ln \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \ln \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right) = \ln \left( {{x^2} - 1} \right) - \ln \left( {{x^2}} \right) = \ln \left( {x - 1} \right) - 2\ln x + \ln \left( {x + 1} \right)\]

\[ \Rightarrow f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + ... + f\left( {2018} \right) = \ln 1 - 2\ln 2 + \ln 3 + \ln 2 - 2\ln 3 + \ln 4 + ... + \ln 2017 - 2\ln 2018 + \ln 2019\]

\[ = \ln 1 - \ln 2 - \ln 2018 + \ln 2019\]

\[ =  - \ln 2 - \ln 2 - \ln 1009 + \ln 3 + \ln 673\]

\[ = \ln 3 - \ln 4 + \ln 673 + \ln 1009\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 4}\\{c = 673}\\{d = 1009}\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right) \Rightarrow P = a + b + c + d = 3 + 4 + 673 + 1009 = 1689\]