Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \[a \ne 1,{\rm{ }}a \ne \sqrt b \] và \[{\log _a}b = \sqrt 5 .\] Tính giá trị của biểu thức \[P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} .\]

Đáp án A

Ta có

\(P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\left( {\frac{{\sqrt b }}{a}.\sqrt a } \right) = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\frac{{\sqrt b }}{a} + {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt a = 1 + {\log _{\frac{b}{{{a^2}}}}}a\)

\( = 1 + \frac{1}{{{{\log }_a}\frac{b}{{{a^2}}}}} = 1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b - {{\log }_a}{a^2}}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt 5 - 2}} = 3 + \sqrt 5 .\)