Cho hàm số f(x) có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}{\left( {x + 3} \right)^5}\left( {x + 1} \right)g\left( x \right) - \frac{2}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 5} }},\forall x \in \mathbb{R}.\] Trong đó \[g\left( x \right) > 0\], \[\forall x \in \mathbb{R}.\] Hàm số \[y = f\left( {2x + 1} \right) + \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Đáp án D

Ta có \(y' = 2f'\left( {2x + 1} \right) + \frac{1}.\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)\)

\( = 2{\left( {2x} \right)^3}{\left( {2x + 4} \right)^5}\left( {2x + 2} \right)g\left( {2x + 1} \right) - \frac{2}{{\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 2\left( {2x + 1} \right) + 5} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

\( = 2{\left( {2x} \right)^3}{\left( {2x + 4} \right)^5}\left( {2x + 2} \right)g\left( {2x + 1} \right) - \frac{2}{{\sqrt {4{x^2} + 4} }} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} < 0\)

\( = 2{\left( {2x} \right)^3}{\left( {2x + 4} \right)^5}\left( {2x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < - 2}\\{ - 1 < x < 0}\end{array}} \right..\)