Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{2}\) và \(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) = - 2\). Khi đó \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng

Hướng dẫn giải

Ta có \(\int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 0 \right) - f\left( { - 1} \right)\) nên suy ra \(f\left( { - 1} \right) = f\left( 0 \right) - \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx.} \)

\( = 1 - \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx.} \)

Tương tự ta cũng có

\(f\left( 3 \right) = f\left( 1 \right) + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} \)

\( = - 2 + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} \).

Vậy \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = - 1 - \int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = - 1 - \ln \left| {2x - 1} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle - 1}^{\scriptstyle0\atop\scriptstyle}} \right. + \ln \left| {2x - 1} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle3\atop\scriptstyle}} \right..\)

Vậy \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = - 1 + \ln 15.\)

Chọn A.