Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} \) là

Hướng dẫn giải

Đặt \(u = \sqrt {1 + 3\cos x} \Rightarrow \cos x = \frac{{{u^2} - 1}}{3}\) nên \(\sin xdx = - \frac{2}{3}udu\).

Đổi cận

Ta viết \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\cos x + 1}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\sin xdx.} \)

Khi đó \(I = \int\limits_2^1 {\frac{{2\left( {\frac{{{u^2} - 1}}{3}} \right) + 1}}{u}.\left( { - \frac{2}{3}udu} \right)} = \frac{4}{9}\int\limits_1^2 {\left( {2{u^2} + 1} \right)} du = \frac{4}{9}\left( {\frac{{2{u^3}}}{3} + u} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = \frac.\)