Giá trị của \(I = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} \) là

Hướng dẫn giải

Đặt \(x = \sin t \Rightarrow dx = \cos tdt\).

Đổi cận

Khi đó \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{{\sin }^2}t.\cos t}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} }}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {t - \frac{1}{2}\sin 2t} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{8} - \frac{1}{4}.\)

Chọn A.