Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx} = 2\). Giá trị của \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx} \) là

Hướng dẫn giải

Đặt \[A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2 \Leftrightarrow \int\limits_{0.}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x.\cos x}}{{{{\cos }^2}x}}.} f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2.} \]

Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\sin x\cos xdx \Rightarrow - \frac{1}{2}dt = \sin x\cos xdx.\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1\) và \(x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}.\) Khi đó \(A = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = 4.} \)

Đặt \(B = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx = 2} \Leftrightarrow \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{\ln x.f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x{{\ln }^2}x}}} dx = 2.\)

Tương tự ta có \(B = \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}} dt = 4.\)

Giá trị của \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx.} \) Đặt \(t = 2x \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt.\)

Đổi cận \(x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\) và \(x = 2 \Rightarrow t = 4.\)

Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = 4 + 4 = 8} } \)

Chọn D.