Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên. Giá trị của \(P = 2a + b\) là

Hướng dẫn giải

Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right)}}d\left( {\sin x} \right)} } \)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{\sin x + 1}} - \frac{1}{{\sin x + 2}}} \right)d\left( {\sin x} \right) = \left( {\ln \left| {\sin x + 1} \right| - \ln \left| {\sin x + 2} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right.} \)

\( = \ln 2 - \ln 1 - \left( {\ln 3 - \ln 2} \right) = 2\ln 2 - \ln 3\)

Suy ra \(a = 2,b = - 1 \Rightarrow 2a + b = 3.\)

Chọn A.