Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x3=y2=z2, điểm A(3; -1; -1) và mặt phẳng P:x+2y+2z−3=0. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc φ. Biết rằng khoảng cách giữa d và ∆ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của cosφ

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ và song song với d

Khi đó ta có dΔ;d=dd;Q=dO;Q do O∈d.

Gọi nQ→=a;b;c là 1 VTPT của (Q).

Khi đó phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A(3; -1; -1) là:

                     ax−3+by+1+cz+1=0⇔ax+by+cz−3a+b+c=0

Lại có d // (Q) nên ud→⊥nQ→⇔3a+2b+2c=0.

Ta có: dO;Q=−3a+b+ca2+b2+c2=3.

⇔−3a+b+c2=9a2+b2+c2

⇔9a2+b2+c2−6ab−6ac+2bc=9a2+b2+c2

⇔4b2+c2=−3ab−3ac+bc

Ta có hệ phương trình

4b2+c2=−3ab−3ac+bc3a+2b+2c=0

⇔4b2+c2=2b+cb+2b+cc+bc3a=−2b+c

⇔4b2+4c2=2b2+2bc+2bc+2c2+bc3a=−2b+c

⇔2b2+2c2−5bc=03a=−2b+c

⇔b=2cc=2b3a=−2b+c

⇔b=2c;a=−2cc=2b;a=−2b

⇔nQ→=−2c;2c;c=−2;2;1nQ→=−2b;b;2b=−2;1;2

Gọi d'=P∩Q. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên P,d',M=Δ∩P.

Khi đó ta có ∠P;Q=∠AKH,φ=∠Δ;P=∠AMH.

Ta có cosφ đạt giá trị nhỏ nhất ⇒sinφ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có sinφ=AHAM≤AHAK, do đó sinφmax=AHAK⇔H≡K.

Khi đó cosφmin=cosP;Q=nP→.nQ→nP→.nQ→.

TH1: nQ→=−2;2;1⇒cosφmin=−2.1+2.2+1.29.9=49.

TH2: nQ→=−2;1;2⇒cosφmin=−2.1+1.2+2.29.9=49.

Vậy giá trị nhỏ nhất của cosφ bằng 49.