Cho hàm số y=fx=x33−mx2−6mx−9m+12 có đồ thị hàm số (Cm). Khi tham số m thay đổi, các đồ thị (Cm) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:

Ta có: y'=x2−2mx−6m

Gọi điểm M(x;y) là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

y=fx=x33−mx2−6mx−9m+12⇔−(x2+6x+9).m+x33+12−y=0,∀m

⇔−(x2+6x+9)=0x33+12−y=0⇔(x+3)2=0x33+12−y=0⇔x=−3y=3

Do đó M(−3;3) là điểm cố định thuộc đồ thị (Cm).

⇒y'−3=9

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số (Cm) tại M là:

y=9x+3+3=9x+30

Đáp án cần chọn là: D