Cho tam giác ABC vuông tại A. Mặt phẳng (P) chứa BC và hợp với mặt phẳng (ABC) góc α00<α<900. Gọi β,γ lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB,AC và (P) .Tính giá trị biểu thức P=cos2α+sin2β+sin2γ.

Phương pháp:

- Kẻ AH⊥PH∈P, xác định các góc α,β,γ.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tìm mối quan hệ giữa

cosα,sinβ,sinγ.

Cách giải:

Kẻ AH⊥PH∈P ta có ∠AB;P=∠ABH=β;∠AC;P=∠ACH=γ.

Kẻ HI⊥BCI∈BC ta có: BC⊥HIBC⊥AH⇒BC⊥AHI⇒BC⊥AI

ABC∩P=BCAI⊂ABC;AI⊥BCHI⊂P;HI⊥BC⇒∠ABC;P=∠AI;HI=∠AIH=α.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

1AH2=1AB2+1AC2⇒AH2AI2=AH2AB2+AH2AC2

⇔sin2α=sin2β+sin2γ

⇔1−cos2α=sin2β+sin2γ

⇔cos2α+sin2β+sin2γ=1

Vậy P=1.

Chọn D.