Cho hàm số y=x+2x−1 có đồ thị (C). Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau. Đường thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N diện tích tam giác OMN bằng 14 . Độ dài đoạn MN bằng

Hướng dẫn giải

Ta có y'=−3x−12 Gọi Ax1;y1, Bx2;y2 .

Khi đó y'x1=y'x2⇔x1−12=x2−12⇔x1+x2=2  .

Do đó tâm đối xứng I1;1  của (C) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là k.

Phương trình đường thẳng AB là y=kx−1+1 .

Điều kiện để đường thẳng d:y=kx−1+1  cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B là phương trình x+2x−1=kx−1+1*  có hai nghiệm phân biệtx≠1

Ta có *⇔kx2−2kx+k−3=0  có hai nghiệm phân biệt *⇔kx2−2kx+k−3=0  khi và chỉ khi

 k≠0k2−kk−3>0⇔k>0k−2k+k−3≠0

Vì M, N là giao điểm của AB với Ox, Oy nên Mk−1k;0,  N0;1−k  .

Suy ra SΔOMN=k−122k=14⇔2k−12=k⇔k=2k=12

Ta có MN2=k−12+k−12k2=k−121+1k2

+ Với k=2⇒MN=52.

+ Với k=12⇒MN=52.

Vậy trong cả hai trường hợp thì  MN=52 .

Chọn B.