Cho số phức z thỏa mãn |z+1|=3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T=|z+4−i|+|z−2+i|

Đáp án B

+ Số phức z=x+yi(x;y∈R)  có mô đun |z|=x2+y2

+ Sử dụng BĐT Bunhiacốpxki với hai bộ số (a;b),(x;y)   ta có (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)

+ Dấu  xảy ra khi xa=by .

Gọi số phức z=x+yi  (x;y∈R)

Theo đề bài |z+1|=3⇔|x+1+yi|=3⇔(x+1)2+y2=3

 Ta có T=|z+4−i|+|z−2+i|=|x+4+(y−1)i|+|x−2+(y+1)i|

=(x+4)2+(y−1)2+(x−2)2+(y+1)2

Áp dụng BDT Bunhiacốpxki ta có:

T2=((x+4)2+(y−1)2+(x−2)2+(y+1)2)2≤(12+12)[(x+4)2+(y−1)2+(x−2)2+(y+1)2]

T2≤2(2x2+2y2+4x+22)=4((x+1)2+y2+10)=52 (vì (x+1)2+y2=3)

Do đó T≤213

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

{(x+4)2+(y−1)2=(x−2)2+(y+1)2(x+1)2+y2=3⇔{y=3x+3(x+1)2+(3x+3)2=3⇔[{x=310y=910+3{x=−310y=−910+3

Vậy Tmax=213 .