Cho hàm số y=x3−3mx2+2(m2−1)x−m3−m (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số I(2;−2) . Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là

Đáp án A

Ta có: y'=3x2−6mx+3(m2−1);=0⇔[x=m+1⇒y=−4m−2x=m−1⇒y=−4m+2

 ⇒A(m+1;−4m−2)là điểm cực tiểu, B(m−1;−4m+2)  là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Dễ thấy AB=25=2R  nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay tam giác IAB vuông tại I.

Có IA→=(1−m;4m), IB→=(3−m;−4+4m)  nên IA⊥IB⇔IA→.IB→=0  .

⇔(1−m)(3−m)+4m(−4+4m)=0⇔m2−4m+3−16m+16m2=0.

⇔17m2−20m+3=0⇔[m=1m=317

Vậy tổng các giá trị của m là 1+317=2017  .