Trên hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 45 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Đáp án A

Trong  (ABCD) kẻ HM⊥CD(M∈CD) .

Ta có: {CD⊥SH(SH⊥(ABCD))CD⊥HM⇒CD⊥(SHM)⇒CD⊥SM

{(SCD)∩(ABCD)=CD(SCD)⊃SM⊥CD(ABCD)⊃HM⊥CD⇒(SCD),(ABCD)^=(SM,HM)^=SMH^=45°

Trong (SHM)  kẻ HK⊥SM(K∈SM)  ta có:

{HK⊥SMHK⊥CD⇒HK⊥(SCD).

Ta có: AB//CD⇒d(AB;SC)=d(AB;(SCD))=d(A;(SCD))  .

AH∩(SCD)=C⇒d(A;(SCD))d(H;(SCD))=ACHC=43⇒d(A;(SCD))=43d(H;(SCD))=43HK.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: HMAD=HCAC=34⇒HM=34AD=3a2 .

Xét tam giác vuông HMK: HK=HM.sin45°=3a2.22=3a24 .

Vậy d(AB;SC)=43.3a24=a2.