Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F=x+y−zx+y+z bằng bao nhiêu, biết rằng x, y, z là các số thực thỏa mãn log16(x+y+z2x2+2y2+2z2+1)=x(x−2)+y(y−2)+z(z−2)

Đáp án B

Ta có: log16(x+y+z2x2+2y2+2z2+1)=x(x−2)+y(y−2)+z(z−2)

⇔log16(x+y+z)+2(x+y+z)=log16(2x2+2y2+2z2+1)+(2x2+2y2+2z2+1)

⇔log44(x+y+z)+4(x+y+z)=log4(2x2+2y2+2z2+1)+(2x2+2y2+2z2+1)

Xét hàm số: f(t)=log4t+t (t>0) .

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Suy ra: f(4(x+y+z))=f(2x2+2y2+2z2+1)

⇒4(x+y+z)=2x2+2y2+2z2+1⇔x2+y2+z2−2x−2y−2z+12=0 (S).

Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính là: I(1;1;1), R=102 .

Ta có: F=x+y−zx+y+z⇔(F−1)x+(F−1)y+(F+1)z=0 (P)  .

Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung điều kiện cần và đủ là

d(I,(P))≤R⇔|F−1+F−1+F+1|2(F−1)2+(F+1)2≤102.

⇔3F2−2F−13≤0⇔1−2103≤F≤1+2103

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F=x+y−zx+y+z  bằng  23.