Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {2^{{{\sin }^2}x}} + {2^{{{\cos }^2}x}}\) lần lượt là m, M. Tính giá trị của \(P = M.m\)

Đáp án D

Phương pháp:

Đặt \(t = {2^{{{\sin }^2}x}}\left( {0 \le {{\sin }^2}x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

Cách giải:

Đặt \(t = {2^{{{\sin }^2}x}}\left( {0 \le {{\sin }^2}x \le 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

Ta có: \({2^{{{\cos }^2}x}} = {2^{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{2}{t}\), khi đó ta có \(f\left( t \right) = 2 + \frac{2}{t}\,\,\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

\(f'\left( t \right) = 1 - \frac{2}{{{t^2}}} \Leftrightarrow {t^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt 2 \)

\(f\left( 1 \right) = 3;\,\,\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;\,\,\,f\left( 2 \right) = 3 \Rightarrow m = \min f\left( t \right) = 2\sqrt 2 ;\,\,\,M = \max \,f\left( t \right) = 3 \Rightarrow M.n = 6\sqrt 2 \)