Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình \(\log _5^2x + 2\sqrt {\log _5^2x + 1} - m - 2 = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{5^{\sqrt 3 }}} \right]\)?

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt \(t = \sqrt {\log _5^2x + 1} \)

Cách giải:

Đặt \(t = \sqrt {\log _5^2x + 1} \) với \(x \in \left[ {1;{5^{\sqrt 3 }}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} + 2t - 3 = m\) có nghiệm trên \(\left[ {1;2} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + 2t - 3 \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow m \in \left[ {0;5} \right]\)