Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \( - {x^3} + 3mx - 2 < - \frac{1}{{{x^3}}}\) nghiệm đúng với mọi \(x \ge 1\)

Đáp án B

Phương pháp:

Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(m < f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Cách giải:

\( - {x^3} + 3mx - 2 < - \frac{1}{{{x^3}}} \Leftrightarrow 3mx < {x^3} + 2 - \frac{1}{{{x^3}}}\,\,\forall x \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^4}}}\,\,\,\forall x \ge 1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^4}}}\) với mọi \(x \ge 1 \Leftrightarrow 3m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{x^4}}} = \frac{{2{x^6} - 2{x^3} + 4}}{{{x^5}}} = \frac{{2\left( {{x^3} - \frac{1}{2}} \right) + \frac{7}{2}}}{{{x^5}}} > 0\,\,\,\forall x \ge 1\)

\( \Rightarrow 3m < f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}\)