Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

Đáp án C

Phương pháp :

+) Xác định góc giữa SB và mặt đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

+) Dựng mặt phẳng (SBK) chứa SB và song song với AC, khi đó

\(d\left[ {AC;SB} \right] = d\left[ {AC;\left( {SBK} \right)} \right] = \left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH.

Cách giải:

\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) AB là hình chiếu vuông góc của SB lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB;AB} \right) = SBA = {60^0}\)

\( \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

Dựng d qua B và d // AC

Dựng \(AK \bot d\) tại K

Dựng \(AH \bot SK\) tại H

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow BK \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AH\\SK \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBK} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBK} \right)} \right) = AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK//AC\\BK \subset \left( {SBK} \right)\\AC \not\subset \left( {SBK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC//\left( {SBK} \right) \Rightarrow d\left[ {AC;SB} \right] = d\left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)

Gọi M là trung điểm AC \( \Rightarrow BM \bot AC & \left( 1 \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot AC & \left( 2 \right)\)

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AK//BM \Rightarrow \) AKBM là hình bình hành \( \Rightarrow AK = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác SAK vuông tại A ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)