Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục, có đạo hàm trên \(\left[ { - 2;4} \right]\)và có bảng biến thiên như hình vẽ Số nghiệm của phương trình \(3f\left( { - 2x + 1} \right) = 8{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 3}}{2};\frac{3}{2}} \right]\) là

Lời giải

Chọn C Đặt \(t = - 2x + 1\).Với \(x \in \left[ {\frac{{ - 3}}{2};\frac{3}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 2;4} \right]\). Mỗi nghiệm của \(t\) cho duy nhất một nghiệm của \(x\). Biến đổi \(8{x^3} - 6x = {\left( {2x} \right)^3} - 3\left( {2x} \right) = {\left( {1 - t} \right)^3} - 3\left( {1 - t} \right) = - {t^3} + 3{t^2} - 2\). Phương trình trở thành \(3f\left( t \right) - \left( { - {t^3} + 3{t^2} - 2} \right) = 0\). Xét hàm số \(g\left( t \right) = 3f\left( t \right) - \left( { - {t^3} + 3{t^2} - 2} \right)\) \( \Rightarrow g'\left( t \right) = 3f'\left( t \right) - \left( { - 3{t^2} + 6t} \right) = 3\left[ {f'\left( t \right) - \left( { - {t^2} + 2t} \right)} \right]\) \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = - {t^2} + 2t\) Ta có \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) \( - {t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\) Ta có bảng xét dấu \(g'\left( t \right)\) Từ đó ta có bảng biến thiên sau: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình \(g\left( t \right) = 0\) có \(1\) nghiệm nên phương trình ban đầu có \(1\) nghiệm.