Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 725 lần phần còn lại. Tính tỉ số IAIS?

Giả sử SC∩IMN=P⇒IMN∩SAC=IP

Ta có: (IMN)∩(SAC)=IP(IMN)∩(ABCD)=MN(SAC)∩(ABCD)=AC⇒IP∥MN∥ACTrong (ABCD) gọi E=MN∩CD trong (SCD) gọi Q=NP∩SD

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNI) là ngũ giác IMNPQ.

Gọi V1=VS.BMNPQI,  V=VS.ABCDtheo bài ra ta có V1=732V

Ta có V1=VS.BMN+VS.IMN+VS.INP+VS.IPQ

Đặt SISA=x   (0

- Xét khối chóp S.BMN và S.ABCD:

  + Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ SS đến (ABCD)).

SBMN=14SABC=18SABC(do tam giác BMN và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ số 12)

Do đó VS.BMN=18VS.ABCD=18V

- Xét khối chóp S.IMN và S.AMN:

VS.INPVS.ANC=SISA.SPSC=x2⇒VS.IMN=x2.VS.ANC

Ta có SANC=12SABC=14SABCD⇒VS.ANC=14V⇒VS.IMN=x24V

- Xét khối chóp S.IPQ và S.ACD: VS.IPQVS.ACD=SISA.SPSC.SQSD

Ta có AMEC là hình bình hành nên EC=AM=12CD⇒ECED=13

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SCD với cát tuyến EPQ ta có:

PSPC.ECED.QDQS=1⇒x1−x.13.QDQS=1⇒QDQS=31−xx⇒SQQD=x31−x⇒SQSQ+QD=xx+31−x⇒SQSD=x3−2x

Suy ra VS.IPQVS.ACD=SISA.SPSC.SQSD=x2.x3−2x=x33−2x

⇒VS.IPQ=x33−2xVS.ACD

Mà SACD=12SABCD⇒VS.ACD=12V⇒VS.IPQ=x323−2xV

Khi đó ta có:

V1=VS.BMN+VS.IMN+VS.INP+VS.IPQ⇒V1=18V+x8V+x24V+x32(3−2x)V⇒V1=18+x8+x24+x32(3−2x)V=732v⇒18+x8+x24+x32(3−2x)=732⇔1+x+2x24+x33−2x=716⇔(1+x+2x2).(12−8x)+16x3=7(3−2x)⇔12+12x+24x2−8x−8x2−16x3+16x3=21−14x⇔16x2+18x−9=0⇔x=38tmx=−32ktm

⇒SISA=38⇒ISIA=35⇒IAIS=53Đáp án cần chọn là: A