Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại C,ABC^=60°,AB=32,đường thẳng AB có phương trình x−31=y−41=z+8−4, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng (α):x+z−1=0. Biết B là điểm có hoành độ dương. Gọi (a;b;c) là tọa độ điểm C, giá trị của a+ b+c bằng

Ta có A là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (α). Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x−31=y−41=z+8−4x+z−1=0⇔x=1y=2z=0. 

Vậy điểm A(1; 2; 0).

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B(3+t;4+t;−8−4t) 

⇒AB→=(t+2;t+2;−8−4t)

Theo giả thiết thì t+3>0⇔t>−3

Do AB=32, ta có (t+2)2+(t+2)2+16(t+2)2=18⇒t=−1 nên B(2;3;−4)

Theo giã thiết thì AC=ABsin60°=362;BC=AB.cos60°=322

Ta có C∈(α)AC=362BC=322⇔a+c=1(a−1)2+(b−2)2+c2=272(a−2)2+(b−3)2+(c+4)2=92

⇔a+c=12a+2b−8c=9(a−1)2+(b−2)2+c2=272⇔a=72b=3c=−52.

Vậy C72;3;−52nên a+b+c=4.

Chọn C