Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn \(2a - 5b = - 8\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3] - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 4\). Mệnh đề nào dưới đây sai?

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3] - \sqrt {1 - bx} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3] - 1 + 1 - \sqrt {1 - bx} }}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3] - 1}}{x} + \frac{x}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\left[ {{{(\sqrt[3])}^2} + \sqrt[3] + 1} \right]}} + \frac{{x(1 + \sqrt {1 - bx} )}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{a}{{{{(\sqrt[3])}^2} + \sqrt[3] + 1}} + \frac{b}} \right) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}\)

Theo giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3] - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 4 \Rightarrow \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 4 \Leftrightarrow 2a + 3b = 24\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 5b =  - 8}\\{2a + 3b = 24}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.\) nên \(|a| \le 5\) là sai.