Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot (ABC)\), góc giữa SC và mặt phẳng \((ABC)\) bằng 30°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

Phương pháp giải

Bước 1: Do \(SA \bot (ABC)\) nên góc giữa SC và mặt phẳng \((ABC)\) là góc \(\widehat {SCA}\). Tìm SA

Bước 2: Lấy điểm \(D\) sao cho ACBD là hình bình hành. Khi đó \(d(SB,AC) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD))\).

Ta có \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BD \to AM\)

Bước 3: Trong \(\Delta SAM\) kẻ \(AH \bot SM\) với \(H \in SM\). Suy ra \(AH \bot (SAM) \Rightarrow d(A,(SBD)) = AH\)

Do \(SA \bot (ABC)\) nên góc giữa SC và mặt phẳng \((ABC)\) là góc \(\widehat {SCA}\). Suy ra \(\widehat {SCA} = {30^^\circ }\) Trong tam giác SCA vuông tại \(A\):

Có \(\tan \widehat {SCA} = \frac \leftrightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = a.\tan {30^^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Lấy điểm \(D\) sao cho ACBD là hình bình hành.

Khi đó \(d(SB,AC) = d(AC,(SBD)) = d(A,(SBD))\).

Ta có \(AB = BD = AD \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\).

Gọi \(M\) là trung điểm BD. Suy ra \(AM \bot BD\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong \(\Delta SAM\) kẻ \(AH \bot SM\) với \(H \in SM\).

Do \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AM}\\{BD \bot SA}\end{array}} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAM) \Rightarrow BD \bot AH\).

Suy ra \(AH \bot (SAM) \Rightarrow d(A,(SBD)) = AH\).

Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{3{a^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{3{a^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\)

Vậy\(d(SB,AC) = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}\).