Cho hình vuông ABCD có các cạnh bằng a và có diện tích bằng S1. Nối bốn trung điểm A1, B1, C1, D1 theo thứ tự của bốn cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2. Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông thứ ba là A2B2C2D2 có diện tích S3 … và cứ tiếp tục như thế ta được các hình vuông lần lượt có diện tích S4, S5, ... , S50 (tham khảo hình vẽ). Tổng S = S1 + S2 + ... + S50 bằng

Phương pháp giải

Lời giải

Diện tích hình vuông thứ nhất là \({S_1} = {a^2}\).

Cạnh hình vuông thứ hai là: \({a_2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên diện tích hình vuông thứ hai là \({S_2} = a_2^2 = \frac{1}{2}{S_1}\)

Tiếp tục quá trình trên, ta được: Diện tích các hình vuông lập thành cấp số nhân với \({S_1} = {a^2},q = \frac{1}{2}\).

Vậy \(S = \frac{{{S_1}\left( {1 - {q^{50}}} \right)}} = \frac{{{a^2}\left( {{2^{50}} - 1} \right)}}{{{2^{49}}}}\).