Phương trình \({\log _2}\left( {{3^{{{\log }_6}x}} + x} \right) = \frac{1}{2}{\log _6}{x^2}\) có bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện \(x > 0\).

\({\log _2}\left( {{3^{{{\log }_6}x}} + x} \right) = \frac{1}{2}{\log _6}{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^{{{\log }_6}x}} + x} \right) = {\log _6}x.\)

Đặt \(t = {\log _6}x \Rightarrow x = {6^t}\) ta được phương trình

\({\log _2}\left( {{3^t} + {6^t}} \right) = t \Leftrightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1\,\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f(t) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t}\)

\({f^\prime }(t) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t}\ln \frac{3}{2} + {3^t}\ln 3 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Phương trình \((*)\) trở thành \(f(t) = f( - 1)\) mà \(f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \((*)\) có nghiệm duy nhất \(t =  - 1\).

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm \(x = {6^{ - 1}} = \frac{1}{6}\).