Phần nguyên của \(x\), kí hiệu là \(\left[ x \right]\), là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\).Tìm \(\left[ x \right]\) biết \(x = \frac{1} + \frac{1} + \frac{1} + \ldots + \frac{1}{{n.\left( {n + 1} \right)}}\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Ta có: \(x = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) +  \ldots  + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}} \right) = 1 - \frac{1}\).

Vì \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) nên \(n + 1 > 1 \Leftrightarrow 0 < \frac{1} < 1 \Rightarrow 0 < 1 - \frac{1} < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \Rightarrow \left[ x \right] = 0\).