Giá trị của tổng \(S = 1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace {111...1}_{n\,\,s\`e \,\,1}\) là

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(9S = 9 + 99 + 999 +  \ldots  + \underbrace {999...9}_{n\,\,s\`e \,\,9}\)

\(\begin{array}{l} = (10 - 1) + (100 - 1) +  \ldots  + \left( {{{10}^n} - 1} \right)\\ = \left( {10 + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^n}} \right) - n\\ = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}} - n = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n\end{array}\)

\( \Rightarrow S = \frac\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{n}{9}.\)

 Chọn B