Cho hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + ax + b{\rm{\;khi\;}}x \ge 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^3} - {x^2} - 8x + 10{\rm{\;khi\;}}x < 2}\end{array}} \right.\). Biết hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\). Giá trị của \(ab\) bằng

Giải thích

Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 2\).

Do đó .

Hàm số có đạo hàm tại điểm \(x = 2\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{f(x) - f(2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{f(x) - f(2)}}\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^3} - {x^2} - 8x + 10 - ( - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + ax + b - (4 + 2a + b)}}\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + x - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 2 + a)\)

\( \Leftrightarrow 4 + a = 0 \Leftrightarrow a =  - 4\).

Suy ra \(b = 2\). Vậy \(ab =  - 8\).

 Chọn D