Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 3\) và \(\left( Q \right):2x + y - z = 5\). Giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là

Giải thích

Cách 1.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow   = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( { - 2;3; - 1} \right)\).

Chọn điểm \(M\left( {0;4; - 1} \right)\) thuộc hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{3} = \frac{{ - 1}}\).

Cách 2.

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì với mỗi điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \in d\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 3}\\{2x + y - z = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{z = 2x + y - 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Cho \(x = 2t\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) thì từ hệ phương trình trên ta thu được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 4 - 3t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 4 - 3t\left( {t \in \mathbb{R}} \right){\rm{.\;}}}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

 Chọn A