Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 , điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(SM = 2MC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) và song song với \(BD\). Diện tích thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi \(\left( P \right)\) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Gọi \(O = AC \cap BD,I = AM \cap SO\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) từ \(I\) kẻ đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với \(BD\) cắt \(SB,SD\) lần lượt tại \(N,P\).

Suy ra thiết diện là tứ giác \(ANMP\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SO}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM} \right.\).

Mặt khác: \(BD//NP\).

\( \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM\).

+ Tính \(AM\):

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA = SC = 3}\\{AC = 3\sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow {\rm{\Delta }}SAC} \right.\) vuông cân tại \(S \Rightarrow AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}}  = \sqrt {{3^2} + {2^2}}  = \sqrt {13} \).

+ Tính \(NP\):

Ta có: \(NP//BD \Rightarrow \frac = \frac \Rightarrow NP = \frac\).

Gọi \(\frac = k\).

Ta có: \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {SI}  =  - \overrightarrow {SA}  + k\overrightarrow {SO} \).

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AS}  + \overrightarrow {SM}  =  - \overrightarrow {SA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {SC} \)

\(A,I,M\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = l\overrightarrow {AM}  \Leftrightarrow  - \overrightarrow {SA}  + k\overrightarrow {SO}  =  - l\overrightarrow {SA}  + \frac{2}{3}l\overrightarrow {SC} \)

\( \Leftrightarrow  - \overrightarrow {SA}  + \frac{k}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC} } \right) =  - l\overrightarrow {SA}  + \frac{2}{3}l\overrightarrow {SC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}k + l = 1}\\{\frac{1}{2}k - \frac{2}{3}l = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = \frac{4}{5}}\\{l = \frac{3}{5}}\end{array}} \right.} \right.\).

\( \Rightarrow \frac = \frac{4}{5} \Rightarrow NP = \frac{4}{5}BD = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).

\( \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP.AM = \frac{1}{2}.\frac{{12\sqrt 2 }}{5}.\sqrt {13}  = \frac{{6\sqrt {26} }}{5} \approx 6,12\).

 Chọn A