Phương trình2017sinx=sinx+2−cos2x có bao nhiêu nghiệm thực trên [−5π;2017π]?

Đáp án D.

Phương trình tương đương với  2017sinx=sinx+1+sin2x.

Đặt t=sinx,t∈−1;1 thì phương trình trở thành 2017t=t+1+t2. 

⇔t.ln2017−lnt+1+t2=0, do t+1+t2>t2+t=t+t≥0,∀t. 

Xét hàm số f(t)=t.ln2017−lnt+1+t2 trên −1;1.

Đạo hàm 

f'(t)=t2+1.ln2017−11+t2>ln2017−11+t2>0,∀t∈−1;1.  

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên −1;1. Mà f0=0nên phương trình ft=0 có duy nhất một nghiệm t=0.

Như vậy sinx=0⇔x=kπ,(k∈ℤ). Vì x∈−5π;2017π nên −5≤k≤2017. 

Vậy có 2017––5+1=2023 giá trị k nên phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trên −5π;2017π