Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn −2017;2017 để phương trình x2−1log2x2+1−m2x2−1.logx2+1+m+4=0 có đúng hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1≤x1≤x2≤3

Đáp án B

Điều kiện x2−1≥0⇒x≤−1x≥1.

Phương trình đã cho tương đương với:

2x2−1log2x2+1−2m2x2−1.logx2+1+2m+8=0 

⇔2x2−1.logx2+12−2m2x2−1.logx2+1+2m+8=0*

Đặt t=x2≥1, theo bài ra ta có 

1≤x1

Xét hàm số ft=2−t−1.logt+1 trên đoạn 1;9.

Ta có f't=logt+12t−1+2t−1t+1.ln10>0,∀∈0;9⇒ Hàm số ft đồng biến trên đoạn 1;9. Khi đó f1≤ft≤9 hay 0≤ft≤4.

Đặt u=2x2−1.logx2+1⇒u∈0;4. Khi đó phương trình (*) trở thành u2−2m.u+2m+8=01.

Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình (1). Với u≠1 thì phương trình (1) tương đương với 

u2+8=2mu−1⇔2m=u2+8u−12

Xét hàm số gu=u2+8u−1 trên đoạn 0;4\1.

Ta có g'u=u2−2u−8u−12; g'u=0⇔u=4u=−2. Mà u∈0;4\1 nên u=4.

Mặt khác, có g0=−8; g4=8; limx→1−gu=−∞; limx→1+gu=+∞.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán <=>Phương trình (2) có nghiệm duy nhất trên đoạn 0;4\1 . Suy ra 2m≥82m≤−8⇔m≥4m≤−4.

Mặt khác m∈ℤ, m∈−2017;2017 nên suy ra 4≤m≤2017−2017≤m≤−4. 

Vậy có tất cả 2017−4+1+−4+2017+1=4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.