Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A'C=a. Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng A'CB và ABC để thể tích khối chóp A'.ABC lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp A'.ABC theo a

Đáp án C

 Ta có 

BC⊥AC,BC⊥AA'⇒BC⊥A'ACC'⇒BC⊥A'C.

Suy ra

A'CB,ABC^=A'C,AC^=A'CA^=x,0

ΔA'AC vuông tại B nên 

AA'=A'C.sinA'CA^=asinx;AC=acosx.

Suy ra 

VA'.ABC=13.AA'.SΔABC=13.asinx.acosx22=a36sinxcos2x.

Xét hàm số

fx=sinxcos2x=sinx1−sin2x trên 0;π2. 

Đặt t=sinx, do x∈0;π2⇒t∈0;1. Xét hàm số  gt=t1−t2 trên 0;1.

Ta có

f't=1−3t2;f't=0⇔t=±13.

Do t∈0;1 nên t=13.

Lập bảng biến thiên, suy ra maxx∈0;π2fx=maxt∈0;1gt=g13=239. 

Vậy Vmax=a36.239=a3327 (đvtt).