Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A−2;0;0,B0;4;2,C2;2;−2. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC, S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H lần lượt là trọng tâm của ΔABC, trực tâm của ΔSBC. Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S'. Tính tích SA.S'A

Đáp án C

Nhận thấy AB=BC=CA=26 nên ΔABC đều. Do G là trọng tâm của  ΔABC nên CG⊥AB, mà CG⊥SA⇒CG⊥SAB⇒CG⊥SB . Lại có  CH⊥SB (H là trực tâm của ΔSBC) nên SB⊥CHG. Suy ra SB⊥GH.

Gọi M  là trung điểm của BC.

Ta có 

BC⊥SA,BC⊥AM⇒BC⊥SAM⇒BC⊥GH. 

Như vậy GH⊥SBC⇒GH⊥SM hay S'H⊥SM⇒SS'H^=SMA^. 

Suy ra ΔAS'G∽ΔAMS⇒AS'AM=AGAS 

⇒AS'.AS=AM.AG=AM.23AM=23.AB322=23.26.32=12.