Cho các số thực x, y thỏa mãn x−42+y−42+2xy≤32. Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức A=x3+y3+3xy−1x+y−2 là:

Lời giải:

x−42+y−42+2xy≤32⇔x+y2−8x+y≤0⇔0≤x+y≤8

A=x+y3−3x+y−6xy+6≥x+y3−32x+y2−3x+y+6

(do x+y2≥4xy⇒xy≤x+y24⇒−6xy≥−32x+y2 )

Xét hàm số ft=t3−32t2−3t+6 trên đoạn 0;8 ta có:

f't=3t2−3t−3,f't=0⇔t=1±52  (giá trị 1−52∉0;8 nên loại)

Thực hiện tính toán ta có:

f0=6,f1+52=17−554,f8=398

⇒A≥ft≥17−554⇒A≥17−554

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17−554 xảy ra khi  x+y=1+52x=y⇔x=y=1+54

Đáp án cần chọn là: C