Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y=x3+a+10x2−x+1 cắt trục hoành tại đúng một điểm?

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x3+a+10x2−x+1=0(*).

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (*). Khi đó (*) ⇔−a−10=x3−x+1x2.

Xét hàm số fx=x3−x+1x2=x−1x+1x2, có f'x=x3+−2x3=0⇔x=1.

Tính:

limx→−∞x=−∞; limx→+∞x=+∞; limx→0−x=+∞; limx→0+x=−∞; f1=1.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy fx=−a−10 có nghiệm duy nhất ⇔a>−11.

Kết hợp với a là số nguyên âm ⇒ Có 10 giá trị cần tìm.