Giá trị của A=11!.2018!+12!.2017!+13!.2016!+...+11008!.1011!+11009!.1010! bằng

Đáp án D.

Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)

Bài toán tổng quát:

Cho 

A=11!.2n!+12!.2n−1!+13!.2n−2!+...+1n−1!.2n!+1n!.n+1!

Cho 

A=11!.2n!+12!.2n−1!+13!.2n−2!+...+1n−1!.2n!+1n!.n+1!

Giá trị của A là:

A. 22n−1−12n!.

B. 22n−12n!.   

C. 22n2n+1!.   

D. 22n−12n+1!.

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có: 

A=11!.4!+12!.3!=18.

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:

24−15!=18.

Cách 2 (Làm tự luận)

Ta có: 

A=∑k=110091k!.2019−k!⇒2019!.A=∑k=110092019!k!.2019−k!=∑k=11009C2019k

Chú ý rằng: C2019k=C20192019−k

nên ∑k=11009C2019k=∑k=10102018C2019k

Ngoài ra 1+12019=∑k=02019C2019k=22019

⇒∑k=11009C2019k=12∑k=12018C2019k=12∑k=02019C2019k−2=1222019−2=22018−1.

Do đó A=22018−12019!.