Cho hàm số chẵn y=fx liên tục trên R và ∫−11f2xdx1+2x=8. Tính ∫02fx.

Đáp án D.

Phương pháp: 

Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Cách giải:

Đặt t=−x⇔dx=−dt.

Đổi cận: x=−1→x=−1→t=1 

I=∫−11f2xdx1+2x=∫−11f−2−dt1+2−t=∫−112tf2tdt1+2t

(Vì y=fx là hàm số chẵn)

⇒2I=∫−11f2xdx1+2x+∫−112xf2xdx1+2x=∫−11f2xdx⇒∫−11f2xdx=2.8=16 

⇒∫−10f2xdx+∫01f2xdx=16 

Do y=fx là hàm số chẵn nên

⇒∫−10f2xdx=∫01f2xdx 

⇒2∫01f2xdx=16⇒∫01f2xdx=8 

Đặt

2x=m⇔2xdx=dm⇒dx=12dm.

Đổi cận

x=0→m=0, x=1→m=2 

⇒∫01f2xdx⇒12∫02fmdm=8⇒∫02fxdx=16