Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a,ASB^=ASC^=90°,BSC^=60°. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Đáp án C

Ta có AB=AC=a2,BC=a, suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.

Gọi I=SM∩CN thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy SA⊥SBC nên d⊥SBC, suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trong mặt phẳng (SAM) dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó OA=OS=OB=OC nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Ta có SM=a32⇒SI=23SM=a3. Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên

OS2=SI2+SP2=a23+a24=7a212⇒SO=a216.

Diện tích mặt cầu S=4π.SO2=4π.7a212=7πa23.