Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng P:2x+2y−z−3=0 và mặt cầu S:x−32+y−22+z−52=36. Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là

Đáp án C

S:x−32+y−22+z−52=36, có tâm I(3;2;5) và R=6

Ta có: EI→=1;1;2⇒EI→=12+12+22=6<6=R.

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Vì E∈P và E∈ΔΔ⊂P nên giao điểm của Δ và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C) tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Gọi Δ∩S=A;B. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi dK,Δ lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên Δ khi đó dK;Δ=KF≤KE. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi F≡E.

Vì IK⊥PKE⊥Δ⇒IK⊥ΔKE⊥Δ⇒IE⊥Δ.

Mặt khác: n→P,EI→=5;−5;0, cùng phương với u→=1;−1;0.

Vì Δ⊂PΔ⊥IE nên Δ có một vectơ chỉ phương là u→=1;−1;0. Vậy Δ:x=2+ty=1−tz=3.